Analysis-Klausur
3HTAM Mathe-Hilfe online
Trassierung
Gegeben ist eine Straße mit einem fehlenden
Straßenstück. In dieser Aufgabe wird über
dieses
Straßenstück diskutiert. Die erste Vorgabe, die das
Verbindungsstück zwischen den Punkten $A(0|3)$ und $B_k(k|1)$
erfüllen muss, ist das sie ohne Knick in den bisherigen
Straßenverlauf einmünden muss. Hierbei sei $0
< k \in
\mathbb{R}$.
a) Bestimmen Sie die Funktionenschar $f_k(x)$, die auf dem Intervall $[0,k]$ den neuen Straßenverlauf angibt und minimalen Grad besitzt.
(Kontrolle:~ $f_k(x)= \frac{4}{k^3}\cdot x^3 - \frac{6}{k^2}\cdot x^2 + 3$)
b) Im Punkt $P(1|2)$ befindet sich ein Kindergarten. Damit die Kinder nicht von der neuen Straßen gefährdet werden, soll die Straße einen Mindestabstand von $0{,}4$ Längeneinheiten zum Kindergarten haben. Ist dies beispielsweise für das Verbindungsstück $f_1(x)$ der Fall? (Rechnung!)
c) Bestimmen Sie nun in Abhängigkeit von $k$ die Orte (Punkte), an denen der Fahrer das Lenkrad gerade hält! Betrachten Sie hierbei nur die Fälle $0 < x < k$. Wieso sind die anderen Fälle trivial, also klar?
d) Zur Verschönerung der neuen Straße sollen Pflanzen am Straßenrand angebracht werden. Ein Vorschlag ist folgende Form:
Eine Gärtnerei hat das Angebot gemacht eine halbe Flächeneinheit Fläche zu bepflanzen. Bestimmen Sie nun das $k$ so, dass die geplante Fläche voll ausgenutzt wird!
a) Bestimmen Sie die Funktionenschar $f_k(x)$, die auf dem Intervall $[0,k]$ den neuen Straßenverlauf angibt und minimalen Grad besitzt.
(Kontrolle:~ $f_k(x)= \frac{4}{k^3}\cdot x^3 - \frac{6}{k^2}\cdot x^2 + 3$)
b) Im Punkt $P(1|2)$ befindet sich ein Kindergarten. Damit die Kinder nicht von der neuen Straßen gefährdet werden, soll die Straße einen Mindestabstand von $0{,}4$ Längeneinheiten zum Kindergarten haben. Ist dies beispielsweise für das Verbindungsstück $f_1(x)$ der Fall? (Rechnung!)
c) Bestimmen Sie nun in Abhängigkeit von $k$ die Orte (Punkte), an denen der Fahrer das Lenkrad gerade hält! Betrachten Sie hierbei nur die Fälle $0 < x < k$. Wieso sind die anderen Fälle trivial, also klar?
d) Zur Verschönerung der neuen Straße sollen Pflanzen am Straßenrand angebracht werden. Ein Vorschlag ist folgende Form:
Eine Gärtnerei hat das Angebot gemacht eine halbe Flächeneinheit Fläche zu bepflanzen. Bestimmen Sie nun das $k$ so, dass die geplante Fläche voll ausgenutzt wird!